Congruências

Nos estudos voltados para a matemática do último século, as questões algébricas e numéricas, que tanto a marcavam, diminuíram, passando a se dedicar mais, de forma tendenciosa, para aquilo que é abstrato. Entre essa área, denominada de álgebra moderna, chama-se a atenção para a teoria dos anéis e dos ideais, pois são completamente abstratas, desde a sua origem. Trata-se de um conteúdo impensável na antiguidade, já que é totalmente moderno. Se pesquisarmos a fundo, encontraremos a maior parte dos estudos que se relacionam com os anéis desenvolvidos nos últimos 80 e 90 anos. Portanto, essa é, de fato, uma área que vem se desenvolvendo muito recentemente.

Em contrapartida, a teoria dos anéis teve sua origem em meados do século XIX, tendo, na verdade, poucos autores dedicados em estudar essa teoria moderna. O primeiro a iniciar os estudos foi Richard Dedekind (1831-1916), que foi o responsável por introduzir, em 1871, as noções de ideais, a fim de generalizar o teorema fundamental da matemática a um patamar mais abstrato. Em seguida, David Hilbert (1862-1945), Edmund Lasker (1868-1941) e Francis Sowerby Macaulay (1862-1927) contribuíram para o desenvolvimento de anéis e polinômios.

No entanto, quem, de fato, criou a teoria dos anéis foi Adolf Fraenkel (1891-1965), em seu trabalho, denominado “On the divisors of zero and the decomposition of rings” (Divisores de zero e a decomposição dos anéis). Nesse estudo, Fraenkel desenvolveu a primeira caracterização para as noções de anel que conhecemos e estudamos atualmente.

Vale ressaltar que essas noções postas por ele, hoje servem apenas como critério histórico e não são mais estudadas, no entanto, naquele momento, foram muito importantes para o desenvolvimento dessa teoria. Seu real objetivo era de generalizar e amplificar os estudos dos corpos, a fim de obter uma teoria para ser aplicada aos módulos inteiros n e a desenvolver os sistemas conhecidos como números hipercomplexos.

A definição de anéis que embasa os estudos atuais teria surgido no século XX, mais precisamente em 1917, com o matemático japonês Masazo Sono, em sua obra “On congruences” (Em congruências).

Se falarmos em contribuição, quem mais fez pelo avanço das questões abstratas da matemática e da teoria dos anéis foi Emmy Noether (1882-1935). Seu artigo, “Ideal theory in rings” (Teoria ideal em Anéis), publicado em 1921, deu origem a teoria abstrata dos anéis. Nesse trabalho, a autora e matemática estende ainda mais os trabalhos de Hilbert, Lasker e Macaulay sobre os anéis de polinômios e, na sequência, ainda evolui conceitos de anel abstrato que Dedekind havia realizado para anéis de números algébricos.

Essa revolução em trabalhar com os modos abstratos da aritmética nas áreas dos anéis e ideais levou a um contexto de estudo da fatoração prima e acabou, por consequência, criando o que hoje chamamos de álgebra comutativa. Na década de 30, todas essas ideias foram organizadas e postas à disposição da nova geração de pesquisadores, estudiosos e matemáticos que vinham pela frente, a fim de desvendarem e evoluírem esse lado abstrato.

Questões fundamentais como, por que (-1) + (-1) = 1 e a · 0 = 0, são pontos relevantes e objetos centrais de estudo que fazem parte da justificação dessas áreas abstratas de estudo, conduzindo aos conceitos de anel e domínio de integridade.

Anéis

Quando pensamos na teoria dos números vemos que a matemática faz parte de toda nossa vida e está ligada diretamente ao nosso cotidiano, seja ele qual for, desde o início dos tempos. Recorremos aos números para descrevermos e planejarmos boa parte das ocorrências de nosso dia.  

Quando realizamos uma conta simples, utilizamo-nos, por exemplo, de números naturais. Quando cortamos um bolo fazemos uso de frações ou números racionais, medimos distâncias, tamanhos, contabilizamos prejuízos, enfim, se prestarmos atenção estamos mais que familiarizados com os diversos conjuntos numéricos existentes. Podemos então, relacionar os conjuntos, da seguinte maneira:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Enfatizamos que, conforme vimos anteriormente, já estamos acostumados, em nosso dia a dia, a lidar com esses números e conjuntos. Ainda que não saibamos seus conceitos, não são estranhos para nós e temos condições de perceber que cada um desses conjuntos numéricos estão inseridas em operações de adição e de multiplicação, possuindo diversas propriedades.

Diante disso, no próximo tópico introduziremos o estudo de estruturas algébricas, baseando-se nos conceitos sobre a teoria dos anéis e seus domínios.

Conceito de Anel

Podemos definir anel (A, +, ·), como um conjunto A, que tem duas operações binárias, em que as denotaremos de + e ·, sendo que esse anel pode ser descrito da seguinte forma:

(1) (A, +) é um grupo abeliano

(2)  é associativa; isto é,

(a · b) · c = a · (b · c), para quaisquer a, b, c ∈ A

(3) é distributiva relativamente a +; ou seja,

a · (b + c) = a · b + a · c,  e,

(b + c) · a = b · a + c · a, para quaisquer a, b, c ∈ A.

Utilizaremos a denotação A, simplesmente para falar sobre um anel arbitrário (A, +, ·). Se observarmos esse anel A, considerando-o como comutativo, então, juntamente com o elemento ·, devemos chamá-lo de anel com identidade ou, também, de anel unitário. Mostraremos no quadro a seguir algumas notações adicionais:

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Apresentaremos, a partir de agora, a composição algébrica de anel e, também, a exemplificaremos.

Temos conhecimento de diversos tipos de conjuntos, todos variáveis, certo? Internamente a cada conjunto, estão definidas as operações de adição e de multiplicação entre seus membros. Essas operações apresentam, também, propriedades únicas. Vamos relembrar algumas delas a seguir:

• os n´números naturais N = {0, 1, 2, 3, . . .};
• os polinômios com coeficientes reais, denotados por R[x];
• as matrizes Mn×n ®;
• os números inteiros Z = {. . ., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .};
• os números racionais Q = {m/N | n, m ∈ Z e n 6 diferente de 0};
• os números reais R;
• os números complexos C = {a + bi | a, b ∈ R e i² = −1}.

Os conjuntos dos números inteiros, racionais e reais podem ser equiparados, também, com uma relação com ordem ≤. Observemos que nas operações de adição e de multiplicação, a ordenação e suas propriedades relacionam-se com as características gerais dos números inteiros.

Retomando a definição que fizemos no início deste tópico, um anel A é um conjunto que tem operações de adição (+) e de multiplicação (·). Essas operações apresentam as seguintes propriedades:

• A1 (Associativa). Para qualquer a, b, c ∈ A, teremos (a + b) + c = a + (b + c).
• A2 (Comutativa). Para qualquer a, b ∈ A, teremos a + b = b + a.
• A3 (Existência de um elemento neutro para a adição). Existe, então, θ ∈ A, tal que a + θ = θ + a = a, para todo a ∈ A.
• A4 (Existência de simétrico). Em cada a ∈ A, que houver a ′ ∈ A, tal que a + a ′ = a ′ + a = θ.
• M1 (Associativa). Para qualquer a, b, c ∈ A, teremos (a · b) · c = a · (b · c).
• AM (Distributiva). Para qualquer a, b, c ∈ A, teremos a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c.

Exemplificando:

Consideremos um intervalo I = (-1, 1), sendo F (I) o conjunto de todas as funções de I em R, ou seja:

F (I) = {f: I - → R | f é uma função}            

Para qualquer elemento de f, g ∈ F (I), as operações comuns de adição e de multiplicação de funções são determinadas por:

(f + g) (x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ I e

(f · g) (x) = f(x) · g(x), para todo x ∈ I

Dadas essas operações, podemos concluir que F (I) é um anel.

Propriedades Elementares

Como algumas propriedades elementares dos anéis, tem-se a unicidade de um elemento neutro aditivo, além do simétrico e, também, casos em que se tenha o elemento neutro multiplicativo.

Então, considerando um anel A, teremos as opções:

1. (i)      O elemento neutro aditivo é único.
2. (ii)     O elemento neutro multiplicativo, se existe, é único.
3. (iii)    O simétrico é único.

Exemplificando:

(i) No primeiro caso, consideramos θ e θ′ como elementos neutros aditivos do anel A. Portanto, descreveremos:

θ = θ′ + θ = θ′

Observamos a primeira igualdade originada do fato de θ′ ser um elemento neutro da adição e, na sequência, a segunda proveniente de θ ser um neutro da adição. Desse modo, temos a conclusão de que θ = θ′ e o elemento neutro aditivo é único.

(ii) No segundo caso, daremos um anel A, com unidades e e e′. Teremos, então:

e = e′ · e = e′

Aqui, a primeira igualdade deve-se ao fato de e´ ser uma unidade, assim como a segunda. Temos, portanto, e = e′ e o elemento neutro multiplicativo é único.

(iii) No terceiro caso, veremos a′ ∈ A e a′′ ∈ A simétricos de a ∈ A. Assim, teremos:

(θ = a + a′′, θ = a′ + a) e (a ′ = a ′ + θ = a ′ + (a + a ′′) = (a ′ + a) + a ′′ = θ + a ′′ = a ′′)

Com isso, a terceira igualdade terá uma associação da adição. Então, a simetria dessa expressão será única.

Desse modo, a partir da unicidade do elemento neutro aditivo, do simétrico e do neutro multiplicativo, quando ele aparece, denotaremos daqui pra frente um anel A, com propriedades elementares, sendo:

• o elemento neutro da adição pelo símbolo 0;
• o simétrico de a pelo símbolo -a;
• a unidade ou elemento neutro multiplicativo, se existe, pelo símbolo 1.

Além disso, devemos descrever a expressão, a - b = a + (-b) e a nomearemos de subtração.

Domínio de Integridade

Podemos definir domínio de integridade como um próprio anel de integridade ou comutativo, com unidade e sem divisores de zero. Um anel Z tem propriedades que, de maneira geral, um anel comum não tem.

Considerando um elemento não nulo “a”, em um anel comutativo A, é chamado um divisor de zero caso exista um elemento não nulo “b” em A, de modo que ab = 0.

Dessa maneira, quanto tiver um anel comutativo, com unidade, será chamado de domínio integral ou, de forma mais simples, apenas de domínio, caso não tenha nenhum divisor de zero. Assim, um domínio integral pode ser representado pela expressão: ab = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0.

Os ideais foram propostos, primeiramente, por Dedekind, em 1876, de forma generalizada, pois, um matemático chamado Ernst Kummer, já havia contemplado algo sobre essa área. Alguns anos mais tarde, essa teoria foi ainda mais expandida por David Hilbert e Emmy Noether.  

Na teoria dos anéis, ramo já abordado nos tópicos anteriores, um ideal é, na verdade, um subconjunto diferenciado de um anel. O conceito amplia, de forma apropriada, algumas propriedades muito importantes dos números inteiros, como “número par” e “múltiplo de 3”.

Por exemplo, na teoria dos anéis, os ideais são estudados como primos. Ao invés de números primos, em que se definem ideais coprimos como uma generalização dos algarismos coprimos e, também, pode-se provar um teorema de resto para ideais. Dedekind criou seus domínios e foi considerado uma importante classe dos anéis. Os ideais poderiam até mesmo imitar esses domínios, originando uma versão atualizada do teorema fundamental da aritmética. Nesses anéis, todos os ideais não nulos, podendo ser descritos como produtos únicos de ideais primos.

Um ideal também pode ser utilizado na construção de um anel quociente, da mesma maneira que um subgrupo normal é utilizado na elaboração de um grupo quociente.

Assim, podemos definir ideal a partir da lógica em que seja o conjunto R um anel com (R, +) e, sendo o grupo abeliano desse anel um subconjunto I de R, é chamado ideal à direita se cumprirem tais afirmações:

• (I, +) é um subgrupo de (R, +)
• xr está em I para todo x em I e todo r em R

Igualmente, será reconhecido e nomeado como ideal à esquerda se:

• (I, +) é um subgrupo de (R, +)
• rx está em I para todo x em I e todo r em R

Se observarmos, os ideais que estão à esquerda em R são os mesmos que estão à direita do anel oposto Rop e vice-versa. Concluímos, desse modo, que quando R for um anel comutativo, as noções de ideal à esquerda e à direita coincidirão e, se o ideal for bilateral, não precisaremos nomeá-lo esquerda ou direita, apenas chamá-lo de ideal.

Os subconjuntos {0} e R de um anel R são ideais.

Chamamos de ideal próprio, se o conjunto de R também for próprio. Por sua vez, será chamado de Ideal gerado, caso A seja um conjunto qualquer de R.

O ideal estará bem definido quando a interseção dele com os conjuntos (não vazia, porque {\displaystyle A\subset R\,}) de todos os ideais que estão em A (que na interseção seja descrito por <A> ou (A)), for compreendido com todas as somatórias finitas da forma apresentada a seguir:

r1a1 + ··· + rnan

com cada ri em R respectivamente e cada ai em A.

Tipos de Ideais

Os ideais são importantes, pois aparecem como centros dos homomorfismos (que veremos mais à frente) e, também, permitem definir os anéis quocientes. Existem diversos tipos de ideais analisados, uma vez que cada tipo gera distintos anéis quocientes. A seguir, veremos alguns deles:

• Ideal maximal: um ideal I será denominado de ideal maximal quando não existir outro ideal próprio J, tal que I é um subconjunto de J. O anel quociente dele será um corpo.
• Ideal primo: um ideal I será denominado de ideal primo quando, para qualquer a e b em R e ab em I, ao menos um (a ou b) estiver em I. O anel quociente de um ideal primo será um domínio de integridade.
• Ideal primário: um ideal I é chamado ideal primário caso, para qualquer a e b em R e ab em I, ao menos um (a ou \(b^n\)) estiver em I, para algum número natural n. Todo ideal primo é primário.
• Ideal principal: será chamado de ideal principal quando ele for gerado por algum elemento.
• Ideal primitivo: é o ideal que anula um módulo simples à esquerda. Um ideal primitivo à direita também é definido de forma similar. Perceba que, apesar do nome, ideais primitivos à direita e à esquerda serão sempre ideais bilaterais. Anéis quocientes construídos com ideais primitivos são anéis primitivos.

Veremos, na sequência, um pouco mais sobre alguns deles.

Ideal Maximal

Dado um ideal M 6 = A, o anel A denomina-se maximal se, em qualquer ideal I de A, a propriedade M ⊆ I implicar I = M ou I = A.

Exemplificando:

Aplicado no anel dos inteiros Z, (0) e (10) não são maximais:

(0) ⊂ (10) ⊂ (5) ⊂ Z.

Em contrapartida, (5) é maximal:

(5) ⊆ (m) ⊆ Z ⇔ m|5 ⇒ m = 1 ou m = 5 ⇔ (m) = Z ou (m) = (5).

Por fim, teremos: o elemento A como um anel comutativo com identidade e I um ideal de A.

Logo:

(a)  A/I é um domínio de integridade se e, só se, I for primo.

(b)  A/I é um corpo se e, só se, I for maximal.

(c)  Todo o ideal maximal de A é primo.

Ideal Primo

O ideal primo define-se por ser um subconjunto de um anel que tem inúmeras propriedades em comum com as de um valor primo dos anéis inteiros. Para esses anéis inteiros, os ideais primos são conjuntos que apresentam todos os múltiplos de qualquer elemento primo dado, juntamente com o nulo.

Em suma, podemos afirmar que os ideais primitivos são primos e ideais primos são simultaneamente primários, além de se enquadrarem como semiprimos.

Exemplificando:

• Se R descreve o anel C [X, Y] dos polinômios em dupla variável com coeficientes complexos, então, o ideal gerado pelo polinômio Y 2 - X 3 - X - 1 é um primo.
• No anel Z [X] dos polinômios com coeficientes inteiros o ideal criado por 2 e X é, também, um ideal primo. Ele baseia-se em todos os polinômios cujo termo constante é par.
• Em qualquer anel R um ideal maximal é um ideal M, que é classificado assim no conjunto de todos os ideais próprios de R, ou seja, M está embutido em exatamente dois ideais de R, sendo eles o próprio M e o anel completo R. Na prática, todo ideal maximal é primo, também. Em um domínio de ideais principais, todo ideal primo não nulo é maximal, mas, de forma geral, isso não é autêntico.
• Se M é uma variedade suave, R é o anel de funções reais suaves sobre M e x é um ponto de M. Com isso, o conjunto de todas as funções suaves f forma um ideal primo (e, também, um ideal maximal) em R.

Cabe informar, também, que a utilidade prática dos ideais primos dá-se  na área da geometria algébrica, em que as variedades são determinadas como conjuntos nulos de ideais em anéis de polinômios.

Em uma abordagem moderna, que se prega o abstratismo, inicia-se com um anel comutativo arbitrário e, a partir dele, transforma-se em um conjunto de seus ideais primos, também denominado de seu espectro. A partir disso, define-se uma série de generalizações e de variações, que são chamadas de esquemas, sendo aplicadas não somente na geometria ou nesses conteúdos abstratos, mas, também, na teoria dos números.

A entrada desses ideais primos, na teoria da álgebra, foi um avanço grandioso. Naquele momento, percebeu-se que a propriedade da fatoração única expressada no teorema fundamental da matemática não se aplicava em todo anel de inteiros algébricos, mas foi encontrado seu substituto à altura, quando Dedekind trocou elementos por esses ideais primos.

Ideal Principal

Podemos definir um ideal principal como aquele que é gerado por um elemento. Esse ideal apresenta três denominações distintas:  

• ideal principal à esquerda: {\displaystyle Ra = {ra|r\in R}\,} Ra = ra / r E R
• ideal principal à direita: {\displaystyle aR = {ar|r\in R}\,} aR = aR / r E R
• ideal principal bilateral: {\displaystyle I = {e_{1}ad_{1}+e_{2}ad_{2} + \ldots +e_{n}ad_{n}|e_{1},d_{1},e_{2},d_{2},\ldots ,e_{n},d_{n}\in R}\,}I = e1 ad1 + e2 ad2 + ... + en adn ...

No caso comutativo, o principal dá-se por um conjunto na representação aR = aR / r E R. Em Z, é simples demonstrar que todo ideal, na verdade, também é principal, mas isso não se valida em todos os casos. Podemos perceber isso ao analisar quando um ideal é criado por {2, x} no domínio de integridade {\displaystyle \mathbb {Z} [x]\,}Z [x] dos polinômios de coeficientes inteiros.

Homomorfismo de Anéis

A partir de agora, estudaremos a definição de homomorfismos. Esse conceito matemático diz respeito a aplicações, com o intuito de fazer comparações de estruturas algébricas de mesma origem. Os termos utilizados no homomorfismo são, em sua base, muito parecidos com os utilizados na teoria dos grupos. Tem-se um núcleo, uma imagem, além dos teoremas de isomorfismos, entre outras propriedades.

Podemos descobrir muitas informações e dados sobre anéis observando sua interação com outros anéis. No entanto, isso só é possível através dos homomorfismos. O homomorfismo é, portanto, uma ferramenta que preserva as operações soma e multiplicação dos anéis.  

Definição: um homomorfismo representado por φ, de um anel R, em um anel S, é uma aplicação de R em S, que preserva, como dito, as operações de um anel. Ou seja:

Φ (a + b) = φ (a) + φ (b)

Φ (ab) = φ (a) · φ (b)

Quando se tem um homomorfismo de anéis injetivo e sobrejetivo, ele passa a ser denominado isomorfismo de anéis. Nesse caso, podemos dizer que R e S são isomorfos. Veja que na definição apresentada anteriormente, as operações do lado esquerdo do sinal igualitário são as de R, já as do lado direito são de S. Quando se tem um isomorfismo φ : R → S isso mostra que R e S são, em linguagem algébrica, idênticos e similares.

Exemplificando:

De forma geral, se I é um ideal de um anel R, a ferramenta que faz a associação para cada elemento r de R a sua classe r + I, chama-se homomorfismo de anéis ou, nesse caso, homomorfismo canônico.

Seja φ: R [x] → R, que se associa a f (x) 7- → f (1), então φ é um homomorfismo sobrejetivo, já que:

Φ (f + g) = (f + g) (1) = f (1) + g (1) = φ (f) + φ (g)

Φ (f · g) = (f · g) (1) = f(1) · g (1) = φ (f) · φ (g)

Para todo a ∈ R, a = f (1), em que f (x) = a ∈ R [x]. Isso prova, definitivamente, que φ é sobrejetivo.

Propriedades dos Homomorfismos

Considerando φ um homomorfismo de um anel R sobre um anel S, então, teremos as seguintes propriedades:

1. 1. φ (0) = 0
2. 2. Φ (-r) = -φ(r) para todo r em R.
3. 3. Para todo r em R e todo inteiro positivo n, φ (nr) = nφ (r) e φ(r n ) = φ(r) n
4. 4. Se A for um subanel de R, então, φ (A) será um subanel de S.
5. 5. Se I for um ideal de R e φ é sobrejetivo, então, φ (I) será um ideal de S.
6. 6. Se J for um ideal de S, então, φ -1 (J) será um ideal de R.
7. 7. Se R for comutativo, então, φ (R) será comutativo.
8. 8. Se R tiver unidade 1 e φ é sobrejetivo, então, φ (1) será a unidade de S, se S for não nulo.
9. 9. φ será um isomorfismo somente se φ for sobrejetivo e ker φ = {r ∈ R|φ(r) = 0} = {0}.
10. 10. Se φ for um isomorfismo de R sobre S, então, φ -1 será um isomorfismo de S sobre R.

Exemplificando:

1. 1. Aplicando φ a expressão 0 + 0 = 0 teremos φ(0 + 0) = φ(0) e, assim, φ(0) + φ(0) = φ(0). Isto é, 2φ(0) - φ(0) = 0 e, finalmente, φ(0) = 0.
2. 2. Aplicando φ a expressão r + (-r) = 0 teremos que φ(r) + φ(-r) = φ(0) = 0. Juntando os dois lados -φ(r) teremos que φ(-r) = -φ(r), conforme procuramos comprovar.
3. 3. φ(nr) = φ(r + r + r +...r) = nφ(r) e φ(rn ) = φ(rr...r) = φ(r) n, pela definição de homomorfismo.
4. 4. Sejam x, y ∈ φ(A), então, x = φ(a1) e y = φ(a2), de modo que a1 e a2 estão em A. Pela prova, basta demonstrar que x - y ∈ φ(A) e xy ∈ φ(A). Mas x - y = φ(a1) - φ(a2) = φ(a1 - a2) ∈ φ(A), pois A é um subanel. Por motivo semelhante, xy = φ(a1) φ(a2) = φ(a1a2) ∈ φ(A).
5. 5. Como I é um subanel, com base no item anterior, φ(I) já é um subanel de S. Só falta provar que S . φ(I) ⊂ φ(I). Como φ é sobre todo s, em S, é da forma s = φ(r) para algum r, em R. Assim, sφ(a) = φ(r) · φ(a) = φ(ra) ∈ φ(I) para todo a ∈ I.
6. 6. Aplicando o teste para saber se é um ideal, sejam x, y ∈ φ -1 (J), existem j1 e j2 em J, tais que φ(x) = j1 e φ(y) = j2. Como φ(x - y) = φ(x) - φ(y) = j1 - j2 ∈ J, temos que x - y ∈ φ -1 (J). Também, para todo r ∈ R e x ∈ φ -1 (J), temos φ(rx) = φ(r) φ(x) ∈ J, o que demonstra que rx ∈ φ -1 (J).
7. 7. Basta olhar que φ(r1) φ(r2) = φ(r1r2) = φ(r2r1) = φ(r2) φ (r1) para todo r1 e r2 em R.
8. 8. Para todo s ∈ S, s = φ(r) para algum r em R porque φ é sobre. Assim φ (1) = φ(r)φ(1) = φ(r1) = φ(r) = s. Analogamente φ(1)s = s.
9. 9. Se φ é isomorfismo, então, φ é sobre e injetiva, isto é, se φ(r1) = φ(r2) então r1 = r2. Se r ∈ ker φ, então, φ(r) = φ(0) = 0 e, desse modo, r = 0. Assim, ker φ = {0}. Reciprocamente, suponha que φ é sobre e ker φ = {0}. Provaremos, com isso, que φ é injetiva. Para tanto, suponha que φ(r1) = φ(r2), então, φ(r1 - r2) = 0, o que mostra que r1 - r2 = 0, porque ker φ = {0}. Assim, φ é injetivo e sobre e, sendo assim, um isomorfismo.
10. 10. Temos de provar que φ -1 (s1 + s2) = φ -1 (s1) + φ -1 (s2) e φ -1 (s1. s2) = φ -1 (s1) . φ -1 s2. Suponhamos que φ -1 (s1) = r1 e φ -1 (s2) = r2. Logo, φ(r1) = s1, φ(r2) = s2 e φ(r1 + r2) = φ(r1) + φ(r2) = s1 + s2. Isso mostra que φ -1 (s1 + s2) = r1 + r2 = φ -1 (s1) + φ -1 (s2).

Isomorfismos

Na área da álgebra abstrata, a definição de isomorfismo apresenta-se como um homomorfismo bijetivo. Ou seja, duas estruturas algébricas são denominadas isomorfos, se houver, entre elas, um mapeamento bijetivo.

Outra maneira de se conceituar isomorfismo é pensar em dois objetos que, essencialmente, devem ser indistinguíveis, isto é, que não podem ser distinguidos. Essa área algébrica realizará o levantamento sobre esses elementos, mostrando, assim, um relacionamento entre as propriedades ou as operações.

Os isomorfismos são estudados para que se possa estender os conhecimentos a respeito de uns fenômenos para outros. Por exemplo, se dois objetos forem isomorfos, então, todas as propriedades deles podem ser mantidas por um isomorfismo e o que for válido para um dos objetos também será válido para o outro.

Caso um dos isomorfismos seja encontrado em alguma área ou parte do ensino matemático (em que inúmeros teoremas já foram desbravados e muitos processos estão disponíveis para encontrar a resolução), a função isomorfa pode ser utilizada para mapear as questões dessa área desconhecida, para um ambiente em que os problemas serão melhor entendidos e, dessa forma, para melhor trabalhar com eles.

Na álgebra abstrata, dois isomorfismos principais e básicos são considerados. Definimos cada um deles a seguir:

• Isomorfismo de grupos: um isomorfismo entre grupos distintos.
• Isomorfismo de anéis: um isomorfismo entre anéis. (Perceba que isomorfismos entre campos comuns, são, na verdade, isomorfismos de anéis).

Do mesmo modo que os automorfismos de uma sustentação algébrica formam um grupo, os isomorfismos entre dois elementos que partilham entre si a mesma estrutura também formam uma unidade.

Existem diversos exemplos de isomorfismo entre os teoremas e teorias algébricas. A teoria de Laplace é um isomorfismo que mapeia e transforma equações complicadas em equações mais fáceis. Na teoria das categorias, se considerarmos uma categoria C, em que se consiste em duas classes, uma de objetos distintos e outra de morfismos, passaremos a ter uma definição geral de isomorfismo que ultrapassa a anterior, sendo todo isomorfismo um morfismo.

Dessa forma, temos: ƒ: a → b, que tem uma inversa i.e., existindo um morfismo g: b → a, com g: b → a e gƒ = 1a. Como exemplo, podemos citar um mapa linear bijetor, que corresponde a um isomorfismo constituído a partir de espaços vetoriais, de maneira que a função seguirá bijetora, uma vez que a inversa é, também, contínua. Trata-se, portanto, de um isomorfismo sob espaços topológicos, chamada homeomorfismo.

Já no teorema dos grafos, um isomorfismo sob dois grafos, G e H, é um mapa bijetor f de um vértice de G para um vértice de H, que sustenta os “pilares de arestas”, no sentido de que há uma aresta de um vértice u para outro v em G, se houver uma aresta de f (u) para f (v) em H.

Em análise aritmética, um isomorfismo entre dois espaços de Hilbert é uma bijeção que mantém a adição, a multiplicação escalar e o produto interno. Logo, nas teorias primárias do atomismo lógico, o convívio formal entre fatos e proposições legítimas foi desenvolvido por Bertrand Russel e Ludwig Wittgenstein para ser isomórfico. Um modelo dessa forma de pensar pode ser visto na Introdução à Filosofia da Matemática de Russell.