Indução e Boa Ordenação

Todos os tipos de estudos ou ciências naturais lidam em seus processos com um procedimento denominado de indução empírica. Essa indução, serve, primordialmente, para a formulação de regras ou leis que apontam fenômenos, baseados em uma quantidade de observações exclusivas, selecionadas atentamente pelos estudiosos. Esse processo não é pelo ponto de vista da lógica o mais correto a ser utilizado, entretanto, seus resultados são altamente satisfatórios. Por exemplo, não há como duvidar do fato de que quando um corpo é solto no vácuo, considerando seu próprio peso, cairá na posição vertical local.

Porém um teorema matemático, para ser válido, deve se estabelecer de modo totalmente diferente. Basicamente se for verificado que certo fato ou afirmação é verdadeiro em uma grande quantidade de casos, no ramo matemático, ainda não seria possível concluir que tal fato é verdadeiro em todos os casos.  Por esse motivo, o princípio da indução no âmbito da matemática é definido como uma metodologia de demonstração baseado no princípio da indução finita, que é muito utilizado quando se tem que provar que certos elementos são válidos para todos os números naturais.

Considerando todos os algarismos já criados pelo ser humano até os dias atuais, os números naturais foram os primeiros a serem descobertos, no primeiro momento, com o objetivo principal e único de se contar as coisas, principalmente, elementos da natureza. Mesmo sendo os mais simples, o conjunto dos números naturais não são compreendidos em sua totalidade, existindo ainda um campo de descoberta a ser desvendado.

Visto isso, podemos nos perguntar, afinal de contas, o que realmente são os números naturais representados pelo conjunto N? Por já termos adquirido um conhecimento primário, podemos descrever seus algarismos em forma de números reais, como segue abaixo:

1, 2 = 1+ 1, 3 = 2+ 1 = (1+ 1) + 1, 4 = 3+ 1 = (1+ 1+ 1) + 1, · · ·

A grande dificuldade, entretanto, se dá quando temos que provar as propriedades elementares destes números. Nesse ponto, não podemos mais apenas contar com essa descrição simplista, pois apesar de termos consciência de quais são esses algarismos, ainda assim, teríamos grandes problemas em descrevê-los de modo mais abrangente e explícito. Uma saída para tal problema seria dar a esses números propriedades que faça as suas características se tornarem mais inequívocas ao conjunto dos números naturais, isso, já o vendo dentro dos reais. De modo inicial, consideraremos um subconjunto S dos números reais, que possuem as propriedades a seguir:

1. (1) O conjunto S possui o número 1.
2. (2) Todas as vezes que S tiver um número n, necessariamente, terá também o número n + 1.
3. (3) Não existe qualquer subconjunto próprio de S que satisfaça as condições anteriores.

Em suma, podemos explicar as propriedades acima, dizendo que o item (3) coloca o fato de que S possui efetivamente as propriedades anteriores, e se o subconjunto S 0 pertence a S, este último, obrigatoriamente, contém as propriedades (1) e (2), então, S 0 é igual ao S.

Provaremos que, se existe de fato um subconjunto S dos números reais, aos quais satisfaça exatamente as três condições postas acima, então, este conjunto será único. Se S1 e S2 são, na verdade, dois subconjuntos, temos que S1 ∩ S2, contemplam as propriedades (1) e (2), e pela terceira segue que:

\[S1 = S1 ∩ S2 = S2\]

Neste estágio inicial ainda não é possível provar que o conjunto S de fato existe. Porém admitamos a existência do seguinte axioma: há um subconjunto dos números reais o qual possui todas as três propriedades listadas. A este subconjunto excepcional, denominaremos de conjunto dos números naturais e será representado pela letra N. A terceira propriedade é o que chamamos de Princípio da Indução matemática, que se define mais precisamente a partir do conceito em que um subconjunto S dos números naturais é dado de tal modo que o número 1 pertence a S e de acordo com as propriedades sempre que o 1 pertencer a S o n+1 também pertencerá, tendo por indução S = N.

A propriedade, então, nos traz um dos mais fortes e poderosos métodos matemáticos, a de demonstração por indução.

Suponhamos que seja apresentada uma sentença matemática chamada de P (n), a qual se necessite de uma variável natural n, podendo ser confirmada ou desmentida dependendo de qual elemento n a substituímos. Estas sentenças serão chamadas de sentenças abertas, definidas apenas sobre os conjuntos dos números naturais. (N).

Abaixo, daremos alguns exemplos sobre as sentenças abertas, todas definidas sobre N:

a) P (n): n é par.

Aqui, obviamente a afirmação P (1) não é verdadeira, já que coloca o número 1 como par. A partir disso, os elementos P (3), P (5) e P (9) também são falsos, já que afirmam que 3, 5 e 9 são números pares também. Entretanto fica evidente que P (2), P (4), P (8) e P (22) são autênticos, pois 2, 4, 8 e 22 são sim pares.

b) P (n) : n é múltiplo de 3.

Nesse item, teremos, por exemplo, P (1), P (2), P (4) e P (5) sendo falsos, em contrapartida P (3) e P (6) são confiáveis, seguindo a mesma lógica do item a).

c) P (n): 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n 2.

Agora, os elementos, P (1), P (2), P (3), P (4), . . ., P (10) são autênticos. Define-se aqui de forma precisa o significado do axioma aberto P (n). Ela representa o valor total dos n primeiros números ímpares que são iguais a n 2. Você consegue enxergar algum número natural m de modo que P (m) seja falso? Pois bem, se prosseguirmos a busca e realizarmos algumas outras tentativas, você se certificará de que esta fórmula tem enormes probabilidades de ser correta para todo o conjunto dos números naturais n; ou seja, P (n) é aplicável para todo n ∈ N.

d) P (n): n 2 − n + 41 é um primo, para todo n ∈ N.

De forma simples, é possível verificar que os elementos P (1), P (2), P (3) são autênticos. Se formos prolongar um pouco, com algum trabalho, será possível ir mais adiante, comprovando também que P (4), P (5), . . ., P (35) são igualmente corretas. Portanto é de se considerar que tenhamos encontrado um polinômio os quais seus valores nos números inteiros serão sempre números primos.

Por fim, podemos aplicar mais testes e confirmar as suspeitas? Evidentemente sim. Os elementos P (36), P (37), P (38) e P (40) são legítimos.

Podemos encerrar as hipóteses e finalizar satisfeitos por nossa descoberta? Para aqueles que ainda insistirem em contrariar essa teoria, realizaremos um último teste com a proporção n = 41.

Perceba que 412 − 41 + 41 = 412 não é primo. Assim, para a nossa decepção, P (41) é ilegítima! Para saber se é possível provar que não há qualquer polinômio em uma variável com coeficientes inteiros cujos valores nos naturais representam sempre algarismos primos, não havia, então, a princípio qualquer probabilidade de P (n) ser autêntico para todo número natural n.

Como justificar, portanto, que um axioma aberto que se define sobre os naturais é sempre legítimo? Primeiramente, você entra de acordo com o fato de ser impossível testar um por um os elementos, ou seja, todos os números naturais, já que são infinitos. Desse modo, será preciso buscar algum método alternativo.

Iremos, abaixo, exibir esse método, demonstrando por indução matemática a forma que resolverá a nossa questão.

Considerando P (n) uma sentença aberta em relação aos naturais e denotado pela letra V o seu conjunto verdade em N, ou seja, um subconjunto de N, que se expressa como:

V = {n ∈ N; P (n) é verdadeira}.

Para se comprovar que P (n) é legítima para todo caso n ∈ N, é necessário demonstrar que V = N. Isso pode ser executado usando o Princípio de Indução Matemática.

Considere, para isto, demonstrar que o número 1 pertence a V e que n + 1 está em V, sempre que n pertence a V. Assim, nós provamos o seguinte teorema, descrito abaixo:

Teorema (Prova por Indução Matemática). Seja P (n) um axioma aberto sobre N. Presuma que:

1. (i) P (1) é autêntico;
2. (ii) Independentemente do n ∈ N, todas as vezes que P (n) é legítima, assim seguirá para P (n + 1) também ser legítima.

Portanto P (n) é sim autêntico em todo n ∈ N. Utilizaremos agora, esta estratégia para demonstrar que é válido em todo conjunto natural n, da seguinte expressão:

1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n 2.

Veja que P (1) é legítima, pois a fórmula é corriqueiramente válida para n = 1. Imagine agora que, para qualquer n natural, P (n) seja autêntico. Esperamos provar que P (n+ 1) é legítima. Se somarmos 2n+ 1, sendo ele o elemento ímpar mais próximo depois de 2n−1, nos dois lados da igualdade acima, teremos essa igualdade também aceita:

1 + 3 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1)2.

Isso evidencia que, de fato P (n+ 1) é autêntica, sempre que P (n) também for. De acordo com o teorema, essa fórmula é aceita para qualquer algarismo natural n.

Historicamente, essa demonstração realizada foi elaborada pela primeira vez em 1575, de acordo com os registros do estudioso Francesco Maurolycos. Perceba que nesta demonstração, pode-se dar a impressão de que estamos utilizando o argumento de P (n) ser sempre verdadeira para impor e concluir que a expressão P (n + 1) também seja autêntica. Mas na prática, o que realmente está acontecendo? Estamos utilizando essa tese para provar o teorema?

Na verdade, não! Preste bem atenção, pois esse estágio é o mais delicado de todo o teorema. Tendo um número natural n, haverá duas possibilidades:

1. (a) P (n) é autêntica, ou
2. (b) P (n) é falsa.

A segunda hipótese do Teorema coloca que não é necessário assumirmos de maneira absoluta que P (n) é autêntico nos casos de n ∈ N, podendo em algumas circunstâncias ser falsa em determinados valores de n, ou quem sabe até, para todos os valores de n. O que esse item está exigindo é que todas as vezes em que n pertença ao item (a) acima, n + 1 também possa se enquadrar a essa mesma categoria; não exigindo nada quando n pertencer à categoria (b).

De forma exemplificada, o axioma aberto P (n): n = n + 1 cumpre (por vacuidade) a segunda hipótese do Teorema, já que nenhum n ∈ N está na categoria (a). O que causa uma imperfeição, no sentido que o Teorema já não nos garanta que P (n) é legítima para todo n, e, portanto, a primeira hipótese não é verificada, já que P (1): 1 = 2 é falsa!

É necessário ter a percepção de que o princípio da Indução Matemática é distinto da indução empírica das ciências naturais, onde se é comum, depois de um razoável número, finito, por necessidade, de testes, já considerar leis gerais que predominaram e reinaram aquele campo de estudo. Tais leis são tomadas como verdades absolutas, até que algum outro estudioso, prove ao contrário. Na aritmética não existe espaço para se lidar com informações verdadeiras até que se prove outra coisa. A Prova por Indução Matemática visa justamente comprovar e estabelecer que aquele determinado axioma aberto, sobre os elementos naturais, será sempre autêntico, em todos os casos, sem haver margem para oposição.

Elementos da Lógica Matemática

Para se ter uma compreensão completa sobre as definições e os teoremas que circundam todas as teorias da aritmética, é preciso, primordialmente, se habituar na utilização de uma linguagem diferenciada, mais rigorosa e técnica em relação a que usamos em nosso cotidiano. Adquirir este costume pode ser tornar mais fácil quando se utiliza os recursos de alguns símbolos e noções da lógica matemática, dos quais falaremos um pouco neste item. Entretanto é importante destacar que a lógica matemática possui atualmente aplicações diversas e de extrema importância nas mais diferentes áreas, sendo uma das principais e com mais destaque, o ramo tecnológico.

Termos e Proposições: Linguagem Matemática

A linguagem utilizada na aritmética, assim como qualquer outra, possui suas designações, seus termos próprios e nomes, além, claro, das proposições características dessa área. Essa especificação serve, principalmente, para indicar aspectos matemáticos: algarismos, pontos, funções, conjuntos, operações, figuras geométricas etc. No caso das proposições, é essencialmente usada para determinar se as afirmações são verdadeiras ou não. Para exemplificar essas designações específicas podemos citar a seguinte:

1: 7, 3 + 4, 2 − √ π 7, 2 + 3i, N, R.

Veja que nessas duas primeiras designações, existe um mesmo objeto em comum, ou seja, são equivalentes. Portanto o símbolo que se usa para salientar que as designações a e b são sinônimas é o sinal de igual (=), deste modo, teríamos no linguajar matemático a = b. Em relação às proposições (verdadeira ou falsa) indica-se:

7 = 3 + 4, 4 ≤ 4, 2 + 3i = 3 + 2i, 2 + 1 < 1 + 2.

Sendo uma proposição, precisa ser obrigatoriamente verdadeira ou falsa, porém, jamais uma coisa e outra. Na primeira hipótese, deverá ter um valor lógico de 1 e consequentemente na segunda o valor de 0. Assim, os símbolos (1 e 0) servem para classificar verdade ou falsidade.

No caso de ambas as proposições obtiverem um mesmo valor lógico, serão, então, chamadas de equivalentes:

7 ≤ 0 e (−2)5 = 2 x (-5)

Neste caso, a indicação se dá pelos símbolos p e q. Na linguagem matemática escreve-se p ⇐⇒ q.

Quando temos duas proposições demarcadas, como visto antes pelos símbolos p e q, escrevemos p∧q (ler “p e q”), que serão consideradas verdadeiras ou autênticas quando ambas assim forem, e se tornarão falsas, no caso de pelo menos uma delas ser falsa.

Por exemplo, se considerarmos duas proposições, sendo a primeira “4 é um número par” e a segunda “4 é um divisor de 10”, teremos uma proposição falsa, pois a hipótese número 2 não é verdadeira.

Oposto a isso, temos a disjunção, ou comumente escrita na linguagem matemática p ∨ q, (“p ou q”), que se baseia em constatar o fato de ao menos uma das proposições ser verdade. Nessa regra, p v q só será considerada falsa quando as duas forem falsas, e não apenas uma como no exemplo acima.

Nota: A conjunção e a disjunção podem ser definidas de forma completamente parecidas, caso se tenha mais de duas proposições. Para exemplificar isso, podemos considerar um conjunto de proposições p, q e r. Se afirmarmos que todas são autênticas, ela por completo será verdadeira. Se tornará falsa se uma delas, e apenas uma, também for falsa.

Agora se p é uma proposição, a negação de p, se tornaria uma nova, sendo escrita pelo símbolo ∼ p ou simplesmente dizendo não p. Teríamos, então, que a proposição ∼ p é autêntica e 2p falsa. Se somarmos ambos os valores lógicos dessas proposições, serão iguais a unidade, portanto se evidencia que toda proposição p, teremos:

∼ (∼ p) ⇐⇒ p.

De forma mais simples, são verificadas as propriedades a seguir, conhecidas como as primeiras leis de De Morgan, se relacionando às três operações lógicas, representadas pelos símbolos ∨, ∧ e ∼:

∼ (p ∧ q) ⇐⇒ (∼ p) ∨ (∼ q)

∼ (p ∨ q) ⇐⇒ (∼ p) ∧ (∼ q)

Podemos descrever essa linguagem dizendo que as proposições p e q estão sendo negadas, ou seja, não são legítimas, o que é similar a dizer que no mínimo uma delas é falsa. Outro ponto importante é a implicação, que se designa pelo símbolo p =⇒ q (que pode ler-se “p implica q” ou “se p, então q”) uma nova proposição que permite dizer, se p é legítima, q também será. Essa implicação p =⇒ q só será, então, falsa, no caso de p ser verdadeira e q falsa, ou seja, se o valor lógico de p for superior. Como no exemplo das proposições abaixo:

2 ≥ 2 =⇒ 3 > 2 + 1,

3 = 2 =⇒ 5 < 0,

3 = 2 =⇒ 5 ≥ 0,

(1000!)2 > 2 20000 =⇒ 1000! > 2 1000

Apenas a primeira não é verdadeira. É evidente que quando se analisa essas implicações de forma conjunta p =⇒ q e q =⇒ p, as proposições p e q são equivalentes; simbolicamente:

[ (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p) ] ⇐⇒ (p ⇐⇒ q).

Expressões com Variáveis

Além desses termos e das proposições que consideramos no tópico anterior, a linguagem matemática utiliza diversas vezes expressões que fazem mediações com variáveis, ou seja, adiciona em seu vocabulário diversos símbolos, a maioria das vezes, letras que podem substituir designações a partir de regras determinadas. Como na expressão abaixo:      

x, (x − y) 2 , x 2 − 2xy + y 2

Essas designações se converterão de letras para números reais, isso se forem substituídas de acordo com as regras estabelecidas. Por exemplo, se trocarmos as letras x pelo algarismo 1 e o y por 0, teremos a expressão acima convertida em designação do número 1. Já as expressões que possuírem variáveis, também se transformarão quando as suas figuras e símbolos forem adequadamente substituídos de forma conveniente a elas. Essas chamaremos de expressões designatórias, como a que se segue abaixo:

√ x − 1, cotg x, y x.

É preciso frisar, no entanto, que para as últimas expressões se converterem em números é preciso mais que simples substituições destas variáveis. De forma prática, por exemplo, de nada adiantaria substituir o x pelo 0, já que não iria resultar em nenhum número real, independentemente do valor que fosse posto ao y, portanto duas expressões designatórias que estiverem em uma mesma variável x, serão equivalentes se no caso os valores de todos os x se convertam a uma designação e a partir dela, converta a outra também. Nesse sentido, as expressões x e √3 x 3, por exemplo, são equivalentes, pois uma converte a outra, diferentemente das expressões p |x| e √ x, que se trocarmos o x por −1, por exemplo, a primeira se transformará em uma designação do número 1 e a segunda ficará sendo um símbolo sem significado. Obviamente, essa definição de equivalência é similar no caso de se ter expressões designatórias com mais de uma variável. Assim, torna-se equivalentes as expressões designatórias:

(x − y) 2 e x 2 − 2xy + y 2

Suponhamos que x e y têm em seu domínio o conjunto R. Consideremos agora a seguinte expressão:

x 2 > 0, 2 x = x 2 , x 2 − y 2 = 0, x − y > y − z.

Em ambos os casos, se formos trocar todas as variáveis por designações de números reais, teremos, a partir daí, não mais designações, mas sim proposições e como já visto, terão que ser classificadas em autênticas ou falsas.

Nesse caso, quando podem se tornar proposição, as expressões chamam-se de proposicionais ou de condições. Elas podem também se combinar por meio de operações lógicas, similares ao que consideramos nas proposições. Por exemplo, p (x) e q (x), expressões proposicionais que possuem uma variável apenas. A conjunção p (x) ∧ q (x) se converte para proposição legítima no caso de serem atribuídos valores a x que a torne verdadeira em ambas condições. P (x) e q (x).

Agora, a disjunção p (x) ∨ q (x) é uma condição que será falsa para os valores da variável que tornam p (x) e q (x) ambas falsas.

A negação de p (x) é a condição ∼ p (x), que apenas se tornará verdadeira para os valores de x que se converterão p (x) em uma proposição falsa.

Em relação a implicação, p (x) =⇒ q (x), também se converterá em uma proposição falsa, no caso de atribuição a x os valores nos quais p (x) forem verdadeiros e em contrapartida, q (x) falsa. Por fim, a equivalência p (x) ⇐⇒ q (x) é o conjunto das implicações p (x) =⇒ q (x) e q (x) =⇒ p (x).

Abaixo, alguns exemplos de equivalências verdadeiras, independentemente dos valores reais que forem atribuídos às variáveis.

[ (x > 3) ∨ (x = 3) ] ⇐⇒ x ≥ 3,

[ (x < 3) ∧ (x ≥ 2) ] ⇐⇒ 2 ≤ x < 3,

∼ (x < 1) ⇐⇒ x ≥ 1, x 2 > 0 ⇐⇒ x 6= 0.

Serão, também, verdadeiras em todos os casos:

x < 1 =⇒ x < 3,

[ (x < y) ∧ (y < z) ] =⇒ x < z,

Se formos supor que x se designa agora a uma variável ao qual o domínio é o conjunto N, dos números naturais, temos:

∼ (x é par) ⇐⇒ x é ímpar

x é múltiplo de 6 =⇒ x é múltiplo de 3,

[ (x é múltiplo de 2) ∧ (x é múltiplo de 3) ] ⇐⇒ (x é múltiplo de 6).

Quantificadores

Se no caso for dada uma condição p (x), e nela for atribuída a variável x, valores referentes ao seu domínio, teremos como visto, uma conversão para proposição. Contudo em aritmética, tem-se outra forma de extrema relevância para se obter proposições através desta condição p (x). Chama-se quantificadores e são descritos na linguagem própria da matemática pelos símbolos, ∀x ou ∃x.

Essa proposição ∀x p (x) pode ser lida da seguinte forma “qualquer que seja x, p (x) ” ou então “para todo o x, tem-se p (x) ”. Além disso, será verdadeira ao atribuir qualquer valor de x do seu domínio. Já a proposição ∃x p (x), que se lê “existe um x tal que p (x) ” ou “para algum x, tem-se p (x) ”, não é legítima, portanto é falsa, isso também se converter seus valores atribuídos a x, com um valor de seu domínio, da mesma forma que o anterior.

Por exemplo, considerando x uma variável real, são verdadeiras as proposições:

∀x x 2 + 1 > 0, ∃x x 4 ≤ 0 e ∃x x 2 − 3 = 0.

No caso das proposições que tiverem mais de uma variável, o uso de quantificadores torna-se bem similar. Se considerarmos, por exemplo, variáveis x e y a proposição ∀x∃y y < x poderá ser interpretada como “qualquer que seja x existe um y tal que y < x” e se assemelha, a dizer que “não existe um número real que seja menor do que todos os outros”. Obviamente, essa proposição é legítima, mas não seria caso o domínio de x e y fosse o conjunto dos reais ao invés dos naturais. Como não é o caso, então torna-se verdadeira.

A proposição ∃y∀x y < x, que traz à tona a existência de um número real ser menor do que os outros quaisquer é evidentemente falsa. É interessante ressaltar também que, ao trocar a posição dos quantificadores se obterá, a partir daí, uma proposição não equivalente. Entretanto os quantificadores do mesmo tipo inclinarão sempre para uma proposição equivalente, como é fácil de se imaginar a essa altura, como os exemplos abaixo, de proposições equivalentes.

∀x∀y [x 3 = y 3 ⇐⇒ x = y]

∀y∀x [x 3 = y 3 ⇐⇒ x = y]

De forma abreviada, tornam-se:

∀x, y [x 3 = y 3 ⇐⇒ x = y].

Se formos dar duas condições — p (x, y) e q (x, y) por exemplo — diremos que a primeira implicará formalmente a segunda, se é verdadeira a proposição:

∀x, y p (x, y) =⇒ q (x, y)

Por exemplo, no conjunto dos reais, x = y 2 implica formalmente x 2 = y 4, mas já a implicação:

x > y =⇒ x 2 > y 2 não é formal.

Veja que na linguagem da aritmética utiliza-se apenas a palavra “implica”, no sentido formal, ou até mesmo pode-se utilizar o recurso dos símbolos da forma p (x) =⇒ q (x), em lugar de ∀x p (x) =⇒ q (x). São nada mais do que “abusos de linguagem”, ou o popular “gastar vocabulário”, onde geralmente não influencia e não traz nenhum inconveniente para o contexto matemático, visto que tanto uma forma como outra, ainda permite reconhecer e identificar os quantificadores.

De forma parecida, dizemos que as condições p (x, y) e q (x, y) são formalmente equivalentes (ou apenas equivalentes) se tiver:

∀x, y p (x, y) ⇐⇒ q (x, y),

É importante ressaltar que a implicação formal p (x, y) =⇒ q (x, y) pode também se manifestar dizendo que “p (x, y) é condição suficiente para q (x, y) ” ou que “q (x, y) é condição indispensável para p (x, y) ”. Já no caso de equivalência formal, é comum também dizer-se que “p (x, y) é condição necessária e suficiente para q (x, y) ”.

É de suma e fundamental relevância as seguintes leis, que foram também designadas a partir de De Morgan, que indicam o processo de se negar proposições com quantificadores:

∼ ∀x p (x) ⇐⇒ ∃x ∼ p (x),

∼ ∃x p (x) ⇐⇒ ∀x ∼ p (x).

Para declarar esta última, podemos dizer que “não havendo qualquer valor de x que faça com que p (x) seja verdadeira, todos os valores de x farão essa proposição falsa, e reciprocamente”. Por exemplo:

∼ ∀x x 2 > 0 ⇐⇒ ∃x x 2 ≤ 0,

∼ ∀x,y∃z x = yz ⇐⇒ ∃x,y∀z x 6= yz

Indução e Dedução

O conceito de raciocínio é que tal ação faz o cérebro partir de um estado de premissa, ou suposição, até uma conclusão, uma definição sobre algo. Com esse embasamento podemos argumentar que o raciocínio é um tipo de conhecimento indireto e mediato, isto é, não depende apenas de nós mesmos, e nem de um ou outro fator, mas é intermediado por uma série de questões. Portanto raciocínio é o oposto de intuição.

Raciocinar, ou argumentar, é quando colocamos as informações de modo organizado e as evidenciamos de uma maneira que nos faça chegar a alguma conclusão sobre determinado assunto. Esse processo nos faz ter uma ligação entre aquilo que já conhecemos e aquilo que ainda desconhecemos, que através do raciocínio bem elaborado passaremos a desbravar. Em suma, portanto, são meios de se construir novos conhecimentos, a partir de uma prévia que já existia. Resumidamente, existem dois processos aos quais organizamos nosso modo de pensar e raciocinar que são a dedução e a indução.

a) Deduzir

Deduzir significa alcançar a verdade específica, com base em outra que geralmente é maior e mais abrangente. Deste modo, quando colocamos um fato específico dentro de outro mais generalizado, estamos raciocinando por meio da dedução, como no exemplo a seguir:

1. 1) A é similar a B (fato abrangente, também chamada de premissa maior);
2. 2) existe um X que é semelhante a A (caso particular ou premissa menor);
3. 3) dessa forma, este X será igual a B (conclusão).

Partimos agora para um exemplo que envolva e se aplica no âmbito da matemática:

1. 1) todo algarismo ímpar pode ser escrito como 2n + 1, para qualquer n inteiro;
2. 2) o elemento 325 é um número ímpar;
3. 3) logo, 325 pode ser escrito como 2n + 1, se n for igual a 162.

Ou seja, 2 x 162 + 1 = 325.

b) Induzir

No processo da indução, fazemos o oposto da dedução. Ao induzir, buscamos situações isoladas, particulares e entre elas procuramos algo em comum, algum padrão ou norma geral que possa se aplicar a todos os casos isolados ou parecidos observados, como se segue no exemplo:

1. 1) todos os As vistos são iguais a B (observação de dados ou fatos isolados);
2. 2) portanto todo A é igual a B (indução).

Partimos para uma exemplificação numérica:

1. 1) todo número que apresenta o algarismo das unidades igual a 4 é um número par;
2. 2) portanto 64 é um número par.

A Indução na Matemática

No âmbito das ciências experimentais, induzir é um processo natural, como a biologia e a química. Mesmo não sendo o padrão da matemática, que se compreende muito mais como uma ciência de exatidão, alguns ramos que estão em desenvolvimento baseiam suas respostas por meio do método de indução.

É preciso considerar que, os resultados alcançados sob essa técnica, necessitam ser postos à prova, se deparando com outros critérios mais independentes, já que o processo de indução pode acarretar conclusões erradas, pois obter premissas verdadeiras não significa que as conclusões também serão verdadeiras.

Analisamos dois exemplos:

1. 1) o elemento 64 é par;
2. 2) portanto todo número que tiver dois algarismos será par.

Aqui, a generalização da premissa verdadeira resultou em uma conclusão falsa ou incorreta.

Seguimos para um outro exemplo:

1. 1) A expressão f (n) = n²- n + 41 produz, para n = 1, um resultado primo (verdadeiro: f (1) = 41);
2. 2) a expressão f (n) =   n2- n + 41 produz, para n = 2, um resultado primo (verdadeiro: f (2) = 43);
3. 3) a expressão f (n) =  n² - n + 41 produz, para n = 3, um resultado primo (verdadeiro: f (2) = 47);
4. 4) logo, a expressão f (n) = n² - n + 41, nEN, produz números primos.

Analisando esse exemplo, podemos encontrar conclusões autênticas para ≤n ??  40; entretanto, a expressão, f (41) = 41² - 41 + 41 = 41², não é primo! Resumidamente, podemos dizer que o fato de se generalizar as 41 premissas, resultaram em uma conclusão equivocada.  

c) Garantia de Validade

Esses exemplos trazem à tona um pensamento relevante. Afinal, até que ponto deve-se testar a validade de uma hipótese? Uma outra questão é: como assegurar essa conclusão alcançada?

Há, na verdade, dois métodos para resolver essas questões. A primeira é uma abordagem experimental, onde o cientista buscaria a resolução do problema, na base do experimento em si, e após testar inúmeras possibilidades, descobriria e concluiria que a fórmula fracassa quando chega no n = 41. A questão é que a hipótese poderia cair apenas em um n muito grande, o que levaria muito tempo para descobrir e seria descoberto após muito trabalho, isso ainda considerando a fórmula que poderia ser verdadeira. Após algumas centenas de testes, o cientista concluiria que há inúmeras evidências para que a expressão realmente gere todos os primos superiores a 40. Entretanto jamais teria absoluta certeza de que isto é autêntico, pois poderia existir algum elemento não testado que derrubaria sua tese, afinal, existem infinitos números naturais e só é possível explorar uma pequena parte deles, então, neste método, o pesquisador teria que conviver com o fato de que sua tese poderia ser quebrada a qualquer momento.

Um segundo método é a abordagem matemática, onde o cientista buscará resolver esses problemas a partir de um raciocínio sistemático e lógico, a qual a solução seria única, indiscutível, correta e permaneceria pela eternidade.

No quadro acima, comparamos as duas formas de raciocínio, apontando duas diferenças relevantes, a respeito das características de cada uma, tanto na forma dedutiva como indutiva. Visualizamos, então, as diferenças básicas destas formas de pensamento, aos quais estamos em constante contato.

As Duas Formas de Indução

Voltando um pouco, o método da indução finita corresponde a um processo aritmético criado para provar proposições que são autênticas em uma determinada sequência de objetos. Esse conceito é muito usado em áreas da matemática como a teoria dos números, geometria, análise combinatória etc. Entretanto a indução pode também aparecer em qualquer outro ramo da aritmética e por essa razão existem duas formas de se descrever esse princípio.

a) Princípio da Indução Finita - 1ª forma

Consideramos P (n) como um enunciado que descreve uma propriedade sobre um algarismo natural n maior ou igual a um número natural n0 fixado.

Definição (PIF 1ª forma). Caso precisemos provar que as duas condições abaixo são válidas:

C1: P (n0) é autêntica (ou seja, vale a propriedade para n0);

C2: é autêntica a implicação P (n) → P (n + 1) isso para todo n ≥ n0.

Portanto podemos dizer que a propriedade P (n) é verdadeira e autêntica para todo n ≥ n0.

Na prática, para conseguirmos confirmar um teorema por indução finita, precisamos demonstrar que essas duas condições dadas pelo princípio estão sendo satisfeitas. Isso é fundamental, pois é o que vai basear nossa garantia da propriedade em toda a infinidade de casos existentes. Especificamente na segunda condição, como apenas uma única implicação será falsa, se a sua premissa for autêntica e a conclusão falsa, só é preciso eliminar essa possibilidade para termos, então, a validação da implicação que deseja.

Dessa forma, o que se faz comumente é tornar um k qualquer valor maior ou igual a n0, isso admitindo que P (k) seja legítimo, e provar que essencialmente P (k + 1) também precisa ser autêntico. Além de tudo isso, é realizada também a prova de que é válida a propriedade para n0 (primeiro natural), a indução nos garante em todas as afirmações a validação da propriedade.

Exemplificando:

Considerando que 2^4 = 16 e 4! = 4.3.2.1 = 24, logo vale que 2^4 < 4! E dessa maneira, a (C1), primeira condição do P IF, foi alcançada.  Assumindo que 2?k = k! (∗) para um k genérico maior do que 4, como:

• 2 k+1 = 2.2 k • (k + 1)! = (k + 1) k! • (k + 1) > 2, se k > 4

A partir da desigualdade (*) teremos:

2 k+1 = 2.2 k < 2.k! < (k + 1). k! = (k + 1)!

Fica, então, consolidada a validação de (C2), a segunda condição do P IF. Desse modo, o princípio da indução finita garante que vale 2? n < n!, para todo n > 4.

b) Princípio da Indução Finita - 2ª forma

Considerando P (n) uma pronúncia que descreve uma propriedade sobre um número natural n maior ou igual a um número natural n0 fixado.

Definição (PIF 2ª forma). Se conseguirmos provar que valem as duas condições abaixo:

CC1: P (n0) é autêntica (ou seja, vale a propriedade para n0);

CC2: para todo n ≥ n0, é verdadeira a implicação P (n0) ∧ P (n0 + 1) ∧ ... ∧ P (n − 1) ∧ P (n) → P (n + 1).

Podemos concluir, a partir dessas condições, que a propriedade P (n) é autêntica para todo n ≥ n0.

Na execução, para se provar uma propriedade, baseado na segunda forma de indução, é preciso provar que esta propriedade P tenha validade para n0, e em seguida, seja dado um n aleatório superior ao n0 admitindo que P vale para todos os elementos entre o n0 e ele mesmo (n), é preciso provar também que P valerá para n + 1. Ou resumidamente, comprovar a seguinte afirmação:

P (k) verdadeira para n0 ≤ k ≤ n → P (n) verdadeira.

Esta forma pode ser fundamental e essencial em algumas oportunidades, como no Teorema fundamental da Aritmética, que veremos a seguir.

Exemplificando:

O primeiro algarismo é o 2, que é número primo. Como 2 é igual a 2, concluímos que 2 admite uma "fatoração"/ única em primos. E, desse modo (CC1) está satisfeita. Assumimos agora que todos os números entre 2 e n, incluindo eles mesmos, permitem uma fatoração em números primos, única a menos da ordem dos fatores. Consideremos o número n + 1, haverá duas opções:

1. a) n+1 é primo, e nesse caso a sua "fatoração" é certamente única, tendo como único "fator" o próprio primo n + 1, assim como no caso do número 2.
2. b) n + 1 é composto, ou seja, n + 1 = p.q, onde p e q são números naturais inferiores aos n e superiores ou iguais a 2. Sendo assim, supomos (logo acima), que a também chamada de hipótese de indução, tanto p como q admitem decomposição em fatores primos. Multiplicando todos os fatores de p pelos fatores de q obviamente obtemos o número n + 1.

Já que as fatorações de p e q são exclusivas a menos da ordem dos fatores, é preciso ainda provar que, no caso de haver outro elementos primos que realizassem a fatoração encontrada, teríamos também fatorações diversas para p e q, o que é impossível por hipótese.

Princípio da Boa Ordem

Existem na matemática clássica alguns axiomas que consideram objetos que não podem ser desenvolvidos, nem como algoritmo finito, nem infinito. Podemos ver isso como um lado mais abstrato da aritmética, mas de toda forma, essa abstração toda não traz muitas consequências produtivas ao desenvolvimento matemático. Não se tem nenhum relato de existência de algum resultado verdadeiramente prático e relevante, decorrente dessas práticas e teorias que envolvem o abstrato. A matemática construtiva, portanto, não faz parte e não contribui para esse método.

Um dos exemplos mais clássicos que se tem desse modo de enxergar a aritmética é o princípio da Boa ordem. Juntamente com outros exemplos, esses princípios podem ser nomeados de teoremas sem serem admitidos também como axiomas. Se fossem axiomas, passariam a reger o que é e o que não é uma verdade absoluta e exata, o que complicaria muito a matemática.

Em suma, o Princípio da Boa ordem, diz que todo conjunto aritmético pode ser bem ordenado, ou seja, cada conjunto x, por exemplo, possui uma relação de ordem, representado por R (pode-se pensar na relação de ordem <= da aritmética dos números inteiros, como exemplo) de modo que (X, R) é completamente ordenado (i.e., para todos x, y em X, xRy ou yRx) e todo subconjunto Y de X contém um elemento minimizante b (i.e., bRx para todo elemento x de Y).

Podemos ver isso na prática, se colocarmos, por exemplo, o conjunto dos números naturais N= {0,1,2,3, …}. Ele é extremamente bem ordenado pela relação de ordem <=, menor ou igual. O conjunto N é limitado inferiormente, então todo subconjunto de N terá elemento mínimo, que é, então, um elemento minimizante.

Em conjuntos com cardinalidade elevada, é interessante observar como se concentra a relação de ordem. Em alguns casos, pode acontecer de não existir algoritmo ou algarismo finito ou não para estabelecer essa relação ordenada, além disso se considerarmos conjuntos dos números inteiros Z, com cardinalidade alefe 0, e o operador P, construía-se o conjunto P (Z) com cardinalidade alefe um, o conjunto P (P (Z)) com cardinalidade alefe dois, o conjunto P (P (… (P (Z)) …), n vezes, com cardinalidade alefe n, e assim sucessivamente.

Princípio do Menor Inteiro

Consideramos S um subconjunto de N, podemos afirmar que um número natural a é o elemento mais inferior de S, isso no caso de possuírem as propriedades que seguem: i) a ∈ S, ii) a ≤ n, para todo n ∈ S. Logo de cara, verificamos que se o conjunto S possui um elemento menor, se torna único. Concluímos isso, pela lógica em que se o elemento a e a0 são os menores de S, então, a ≤ a 0, ou seja, a = a0. Essa denotação quando ocorre é dada por minS. Essa informação é importante, pois nem sempre é fácil provar aquilo que é óbvio, muitas vezes, quando afirmamos isso, dá-se a impressão de que qualquer um poderia resolver sem grande esforço.

Mas iremos agora, de forma efetiva, mostrar o que parece óbvio, isto é, todo subconjunto não vazio N, possui um elemento menor.

Exemplificando:

Considere S sendo um subconjunto não vazio de N. Imaginemos que este conjunto S não tenha nenhum menor elemento. Demonstraremos que S é vazio, levando a uma contradição. Imagine um conjunto T, que seja um complementar de S em N, isto é, o conjunto dos naturais pertencentes a S. Queremos demonstrar, portanto, que T = N, ou para se utilizar outra linguagem simbólica S = ∅. Defina o conjunto:

In = {k ∈ N; k ≤ n}, e considere a sentença aberta

P (n): In ⊂ T.

Já que 1 ≤ n, para todo n ∈ N, tem-se, portanto, que 1 ∈ T, pois, se fosse o oposto, 1 seria um menor elemento de S. Desse modo, P (1) é verdadeira.

Considere agora que P (n) seja autêntico, para qualquer n. Se n + 1 ∈ S, como não há elemento de In pertencente a em S, obteríamos n + 1 que é um menor elemento de S, fato, como visto, que não é permitido. Assim, n + 1 ∈ T, onde se segue que In+1 = In ∪ {n + 1} ⊂ T, provando que, para todo n, temos que In ⊂ T; portanto, N ⊂ T ⊂ N e, consequentemente, T = N.

Sabemos que toda matéria é composta e formada por pequenas partículas chamadas de átomos. Os primeiros a saberem de tal afirmação foram os gregos antigos, especificamente, o filósofo Demócrito (que viveu entre 546 a 460 a.C.), que deu o nome dessas partículas de átomos (do grego a: não; tomo: divisão), pois de fato se acreditava que não poderiam ser divididas, ou seja, um átomo seria indivisível. Entretanto, nos dias atuais, sabe-se que cada partícula de átomo pode sim ser dividida em outras mais pequenas, porém, a ideia em que a matéria exista em mínimas unidades ainda persiste.

Na aritmética também existe esse conceito de unidades mínimas, mas no lugar dos átomos, essa função é realizada pelos números primos.

Aqui se baseia o teorema fundamental da matemática, ou da aritmética, o TFA. Os descendentes de Pitágoras (Pitagóricos, 500 a 300 a.C.) foram os primeiros a tentarem desmistificar as propriedades gerais desses números, mas diferentemente das partículas atômicas, os números primos seguem em pleno funcionamento, como um conjunto numérico de extrema relevância, sendo atribuída a eles, até mesmo a responsabilidade em se criar absolutamente todos os números naturais diferentes de 0 e 1.

O TFA garante que um número natural que seja diferente de 0 e de 1, é sim, um número primo ou, no mínimo pode ser escrito como um produto de números primos, conforme mostra a Figura 1.5.

No exemplo acima percebe-se que o valor 840 não é primo, ou seja, é divisível por outros valores que não 1 ou ele mesmo, porém, quando se faz a fatoração, aparece em seu produto números primos, nisto é que se baseia o TFA.            

Significado de Divisor, Divide e Divisível

Na linguagem matemática, especificamente no meio dos números naturais, as palavras divisor, divide e divisível são similares. Em termos gerais, podemos explicá-las como a e b números naturais sendo que:  “a é um divisor de b” significando que há um número c, de modo ac = b; “a divide b” já mostra que “existe um número natural c tal que ac = b; Se dissermos que “b é divisível por a”, significa, neste caso, que “existe um número natural c tal que ac = b;

Como este teorema garante que todo algarismo natural superior a 1 ( n > 1) pode ser escrito como um produto de números primos e essa decomposição de primos é única, isso permite que se use uma notação para a fatoração.

Exemplo: 1512 = 2×2×2×2×3×3×7 = Fatoração de (1512) = 2 3×3 2×7.

Como já vimos no tópico anterior, este segundo método de se escrever, por meio da fatoração, é um exemplo de escrita exponencial da decomposição em primos. É preferível que se descreva sempre a decomposição em primos na ordem crescente, pois permite uma referência aos expoentes mais facilmente. No caso do exemplo acima, os expoentes seriam 3, 2 e 1.

Para se fatorar um número natural n, n>1, existem alguns passos que podem ser seguidos formalmente, sendo os seguintes:

• Passo 1: fazer uma listagem com todos os algarismos primos menores ou no mínimo iguais a n, deixando-os em ordem crescente;
• Passo 2: dividir n de maneira sucessiva por esses elementos primos, até se encontrar um primeiro divisor primo p1 de n. sucessivamente por esses primos, até encontrar um primeiro divisor primo p1 de n. Se esse divisor p1 não for encontrado, então n é primo e a fatoração está terminada. Encontrado o divisor primo p1 de n, poderá ir para o próximo Passo;
• Passo 3: como p1∣np, existe a1∈N tal que n=p1⋅a1;
• Passo 4: novamente fazer uma lista com todos os primos menores ou no mínimo iguais a a1−√a1, distribuindo-os em ordem crescente;
• Passo 5: dividir a1 de forma sucessiva pelos mesmos primos apontados no Passo 4, até encontrar um primeiro divisor p2 de a1. Se esse divisor p2 não for encontrado, então a1 é primo e a fatoração está terminada: n=p1⋅a1. Encontrado o divisor primo p2p2 de a1a1, ir para o próximo Passo;
• Passo 6: como p2∣a1, existe a2∈N tal que a1=p2⋅a2. Assim, n=p1⋅p2⋅a2;
• Passo 7: mais uma vez listar todos os elementos primos menores ou iguais a a2−−√a2, escrevendo-os em ordem crescente;
• Passo 8: dividir a2 sucessivamente pelos primos listados no Passo 7, até encontrar um primeiro divisor p3 de a2. Se esse divisor p3 não for encontrado, então a2 é primo e a fatoração está terminada: n=p1⋅p2⋅a2. Encontrado o divisor primo p3 de a2, ir para o próximo Passo;
• Passo 9: como p3∣a2, existe a3∈N tal que a2=p3⋅a3. Assim, n=p1⋅p2⋅p3⋅a3;
• Passo 10: listar todos os primos menores ou iguais a a3−−√a3, escrevendo-os em ordem crescente;
• Passo 11: dividir a3 sucessivamente pelos primos listados no Passo 10, até encontrar um primeiro divisor p4 de a3. Se esse divisor p4 não for encontrado, então a3 é primo e a fatoração está terminada: n=p1⋅p2⋅a2⋅a3.

Observa-se que todas as vezes que um fator primo pj é achado, a partir de um divisor aj de n, um novo procedimento se abre e novos passos são executados. Este processo abre uma sequência decrescente, a1>a2>a3>⋯ de divisores de n. Por essa sequência, ter um número finito de termos, podemos concluir que o processo terá um fim, em algum momento. Muito provavelmente, este final se dará quando se encontrar um número primo.

O processo sucessivo por primos, quando aplicada no processo de fatoração ou decomposição, podem ser representadas, ou escritas das mais variadas maneiras. Para ficar no âmbito numérico, vejamos a decomposição de 60 em três maneiras diferentes:

Baseando-se nessa lógica, é necessário conhecer os números primos menores ou iguais a n√n, se quisermos realizar a decomposição de um número natural n, superior a 1.

Formas do TFA

O TFA aparece vinculado à obra Elementos de Euclides, entretanto, sua primeira demonstração correta foi feita por Gauss e publicada em 1801, na obra Disquisitiones Arithmeticae.

Podemos conceituar o teorema a partir de duas abordagens. A primeira, conceitua que qualquer número natural maior que 1 ou é primo ou poderá ser escrito como fator de primo, como citado já anteriormente. Para este conceito, existe uma justificativa que se segue:

Justificativa - Se n é um número natural, ou seja, n>1, ele sendo um número primo, já não haverá nada para ser demonstrado. Partimos então, de que n seja um número composto. Como n tem divisores diferentes de 1, chama-se p1 o menor dentre esses divisores distintos de 1. Assim, existe um número natural n1 tal que: n=p1⋅n1. (i)

Se na primeira forma, a regra coloca que todo número maior que 1 pode ser primo ou produto primo, nesta segunda forma de se ver o teorema os algarismos maiores que 1 ou são primos, podem ser escritos de forma única.

Aqui, baseia-se de forma teórica o exemplo visto acima, portanto, o TFA defende essa ideia central de que qualquer número pode ser fatorado e seus produtos serem transformados em números primos, ou que ele próprio seja primo, sendo divisível apenas por 1 ou ele mesmo.

Assim, o teorema aritmético apresenta um resultado que além de assegurar a representatividade de um número natural maior do que 1, como produto de seus divisores primos, também confirma que essa representação será única. Além de outros benefícios, este resultado nos faz iniciar um processo de divisores de forma segura, pelo primo que nos for mais conveniente, dependendo da situação que apareça.

Já a segunda maneira é mais simbólica. Se n representa um número natural, n>1, então existirão números primos, p1, p2, p3...pr, com r ≥ 1, sendo que n=p1, p2, p3…pr.…, essa representação também é única.